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La circunferencia y sus propiedades
- 1. R
- 2. ¿Qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?
- 3. Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia P QT S R R R O: Centro OP=OQ=OT=OS=…:Radio CIRCUNFERENCIA Actividad
- 4. ACTIVIDAD
- 5. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A B M N Recta tangente Recta secante Flecha o sagita Diámetro AB( ) Centro T Punto de tangencia Q P Radio Arco BQ Cuerda PQ interactúa
- 6. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a la recta tangente que determina dicho punto de tangencia Recta Tangente Radio 1.-Recta Tangente ACTIVIDAD
- 7. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). ON : radio DN : Diámetro EF : Cuerda ACTIVIDAD
- 9. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B C D mBDmACCD//AB:Si =⇒
- 10. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentes Arcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro mCDmABCDAB:Si =⇒=
- 12. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro T punto de tangencia ET=TF
- 13. R r Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. d > R + rd > R + r R r
- 14. d = R + rd = R + r 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. r R R r Punto de tangencia Distancia entre los centros (d)
- 15. d R d = R - rd = R - r 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d: Distancia entre los centros R r Punto de tangencia
- 16. 05.-CIRCUNFERENCIAS SECANTES Tienen dos puntos comunes
- 17. 5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r ( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r ) Distancia entre los centros (d)
- 18. 5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2 Distancia entre los centros (d) r R
- 19. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. R r d d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros
- 20. 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES AP = PBAP = PB A B P R R α α ACTIVIDAD
- 21. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes AB = CDAB = CD A B C D R R r r
- 22. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. AB = CDAB = CD A B C DR R r r
- 23. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a + b = c + 2ra + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Inradio Circunradio
- 24. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + da + c = b + d d a b c Cuadrilátero circunscrito
- 26. α 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A B C r r α = mABα = mAB ACTIVIDAD
- 27. β A C B D 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos 2 mCDmAB + =β
- 28. θ A B C 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. 2 mAB =θ ACTIVIDAD
- 29. δ 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A B C 2 mAB =δ
- 30. ε A BC 2 mABC =ε 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
- 32. α A B C O 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. α + mAB = 180°α + mAB = 180° 2 mAB-mACB =α
- 33. θ A B C O c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. 2 mBC-mAB =θ
- 34. β A B C O D b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. 2 mCD-mAB =β