Razonamiento deductivo

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En un razonamiento deductivo válido, la conclusión debe derivarse necesariamente de las premisas. Esto quiere decir que, si las premisas del razonamiento son verdaderas, la conclusión ha de ser verdadera. Por ejemplo, si aceptamos que todos los glips son glups y que x es glip, la conclusión lógicamente necesaria es que x es glup. No podemos afirmar las premisas y negar la conclusión sin contradecirnos. Otro ejemplo:

Premisas: • Si luce el sol, la ropa tendida se seca. • Luce el sol.

Conclusión: • Por lo tanto, la ropa tendida se seca.

En este ejemplo se advierte claramente que, si las premisas son verdaderas, la conclusión también ha de ser verdadera. No podemos considerar buenas las premisas y, a un tiempo, negar la conclusión. Dicho de otro modo, la conclusión se deduce necesariamente a partir de las premisas. Por medio de un razonamiento de estas características se concede la máxima solidez a la conclusión, las premisas implican lógicamente la conclusión. Y la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas.

[editar] Implicaciones tautológicas

Modus ponens
- $[(p \rightarrow q) \and p ] \rightarrow q$
- Si P implica Q, y P es verdadero, entonces Q es verdadero.

Modus tollens
- $[(p \rightarrow q) \and \lnot q ] \rightarrow \lnot p$
- Si P implica Q, y Q es falso, entonces P también debe ser falso.

Silogismo hipotético
- Conocido como: Transitividad
- $[(p \rightarrow q) \and (q \rightarrow r) ] \rightarrow (p \rightarrow r)$
- Si P implica Q, y Q implica R, entonces P implica R.

Silogismo disyuntivo
- Conocido más correctamente como:Inferencia de la alternativa
- $[(p \or q) \and \lnot p ] \rightarrow q$
- Si P o Q son ciertos, y P no es cierto, entonces Q es cierto.

Dilema constructivo
- $[(p \rightarrow q) \and (r \rightarrow s) \and (p \or r)] \rightarrow q \or s$
- Si P entonces Q y si R entonces S, y P o R, entonces Q o S

Dilema destructivo
- $[(p \rightarrow q) \and (r \rightarrow s) \and (\lnot q \or \lnot s)] \rightarrow \lnot p \or \lnot r$
- Si P entonces Q y si R entonces S, y no Q o no S, entonces no P o no R

Simplificación
- $(p \and q) \rightarrow p$
- P y Q entonces P

Conjunción
- $p,q \rightarrow (p \and q)$
- P,Q entonces P y Q

Adición
- $p \rightarrow (p \or q)$
- P entonces P o Q

Composición
- $[(p \rightarrow q) \and (p \rightarrow r)] \rightarrow (p \rightarrow q \and r)$
- Si P entonces Q y si P entonces R, entonces si P es verdadero Q y R es verdadero

[editar] Equivalencias

Teoremas de Morgan
- $\lnot (p \and q) \equiv (\lnot p \or \lnot q)$
- La negación de P y Q es equivalente a (no P o no Q)
- $\lnot (p \or q) \equiv (\lnot p \and \lnot q)$
- La negación de P o Q es equivalente a (no P y no Q)

Conmutación
- $(p \or q) \equiv (q \or p)$
- P y Q es equivalente a Q y P

Asociación
- $[p \or (q \or r)] \equiv [(p \or q) \or r]$
- P o (Q o R) es equivalente a (P o Q) o R
- $[p \and (q \and r)] \equiv [(p \and q) \and r]$
- P y (Q y R) es equivalente a (P y Q) y R

Distribución
- $[p \and (q \or r)] \equiv [(p \and q) \or (p \and r)]$
- P y (Q o R) es equivalente a (P y Q) o (P y R)
- $[p \or (q \and r)] \equiv [(p \or q) \and (p \or r)]$
- P o (Q y R) es equivalente a (P o Q) y (P o R)

Doble negación
- $p \equiv \lnot \lnot p$
- P es equivalente a la negación de la negación de P

Transposición
- $(p \rightarrow q) \equiv (\lnot q \rightarrow \lnot p)$
- P entonces Q es equivalente a no Q entonces no P

Implicación material
- $(p \rightarrow q) \equiv (\lnot p \or q)$
- P entonces Q es equivalente a no P o Q

Equivalencia material
- $(p \equiv q) \equiv [(p \rightarrow q) \and (q \rightarrow p)]$
- P equivale Q es equivalente a [(p entonces q) y (q entonces p)]
- $(p \equiv q) \equiv [(p \and q) \or (\lnot p \and \lnot q)]$
- P equivale Q es equivalente a [(p y q) o (no p y no q)]

Exportación
- $[(p \and q) \rightarrow r] \equiv [p \rightarrow (q \rightarrow r)]$
- Si P y Q, entonces R es equivalente a si P es verdadero entonces es verdadero que si Q es verdadero R es verdadero

Importación
- $[p \rightarrow (q \rightarrow r)] \equiv [(p \and q) \rightarrow r]$
- Si P es verdadero entonces es verdadero que si Q es verdadero R es verdadero es equivalente a si P y Q, entonces R