WARNING:
JavaScript is turned OFF. None of the links on this concept map will
work until it is reactivated.
If you need help turning JavaScript On, click here.
This Concept Map, created with IHMC CmapTools, has information related to: Ecuația Schrödinger pentru Atomul de Hidrogen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> V(r) = - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> e </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mrow> <mtext> 4π </mtext> <mmultiscripts> <mtext> ε </mtext> <mtext> 0 </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mtext> r </mtext> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> = </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> sin θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> sin θ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> sin </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∂ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> ∂φ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> </math> 0 ≤ r 0 ≤ θ < π 0 ≤ φ < 2π, o funcție de undă ψ unde ψ este un număr complex, electronul orbitează în jurul protonului considerăm masa redusă <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> μ = </mtext> <mfrac> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> e </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> p </mtext> <none/> </mmultiscripts> </mrow> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> e </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mtext> + </mtext> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> p </mtext> <none/> </mmultiscripts> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> μ = </mtext> <mfrac> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> e </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> p </mtext> <none/> </mmultiscripts> </mrow> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> e </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mtext> + </mtext> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> p </mtext> <none/> </mmultiscripts> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> = </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> sin θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> sin θ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> sin </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∂ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> ∂φ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> </math> 0 ≤ r 0 ≤ θ < π 0 ≤ φ < 2π, ψ∗ψ dacă V este static, ψ este independent de timp: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> ψ∗ψ = </mtext> <mfenced open="[" close="]"> <mtext> u(r) exp </mtext> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mtext> iEt </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> </mfenced> </mfenced> <mtext> ∗ </mtext> <mfenced open="[" close="]"> <mrow> <mtext> u(r) exp </mtext> <mrow> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mtext> iEt </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> <mtext> = </mtext> <mmultiscripts> <mfenced open="[" close="]"> <mtext> u(r) </mtext> </mfenced> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mfenced open="[" close="]"> <mtext> exp </mtext> <mfenced open="(" close=")"> <mfrac> <mtext> iEt </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mtext> iEt </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> </mfenced> </mfenced> <mtext> = </mtext> <mmultiscripts> <mrow> <mtext> </mtext> <mfenced open="[" close="]"> <mtext> u(r) </mtext> </mfenced> </mrow> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mrow> </math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mtext> d </mtext> <mtext> dt </mtext> </mfrac> <mtext> f(t) + i </mtext> <mfrac> <mtext> E </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> <mtext> f(t) = 0 ⇒ f(t) = A exp </mtext> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mtext> iEt </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> </mfenced> </mrow> </math> rezultă <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2m </mtext> </mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> u(r) + V(r)u(r) = Eu(r) </mtext> </mrow> </math>, Ecuația Schrödinger pentru un potențial static, V(r,t) = V(r) Modelul simplificat al atomului de hidrogen, o funcție de undă ψ dar, conform definiției, complexul conjugat ψ∗ψ, ψ(r,t) = u(r) f(t) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mtext> u(r) </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2m </mtext> </mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> u(r) + Vu(r) </mtext> </mfenced> <mtext> = E = </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mtext> f(t) </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> iℏ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂f(t) </mtext> <mtext> ∂t </mtext> </mfrac> </mfenced> </mrow> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mtext> d </mtext> <mtext> dt </mtext> </mfrac> <mtext> f(t) + i </mtext> <mfrac> <mtext> E </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> <mtext> f(t) = 0 ⇒ f(t) = A exp </mtext> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mtext> iEt </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> </mfenced> </mrow> </math>, electronul orbitează în jurul protonului sub influența unui potențial central: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> V(r) = - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> e </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mrow> <mtext> 4π </mtext> <mmultiscripts> <mtext> ε </mtext> <mtext> 0 </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mtext> r </mtext> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> μ = </mtext> <mfrac> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> e </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> p </mtext> <none/> </mmultiscripts> </mrow> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> e </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mtext> + </mtext> <mmultiscripts> <mtext> m </mtext> <mtext> p </mtext> <none/> </mmultiscripts> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> = </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> sin θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> sin θ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> sin </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∂ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> ∂φ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2μ </mtext> </mfrac> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> sin θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mfenced open="[" close="]"> <mtext> sin θ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mfrac> <mtext> ∂u(r, θ, φ) </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mrow> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> sin θ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂u(r, θ, φ) </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mtext> sin θ </mtext> </mfrac> <mtext> </mtext> <mfrac> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> ∂ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> u (r, θ, φ) </mtext> </mrow> <mrow> <mtext> ∂ </mtext> <mmultiscripts> <mtext> φ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mrow> </mfrac> </mrow> </mfenced> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> e </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mrow> <mtext> 4π </mtext> <mmultiscripts> <mtext> ε </mtext> <mtext> 0 </mtext> <none/> </mmultiscripts> <mtext> r </mtext> </mrow> </mfrac> <mtext> u(r, θ, φ) = E u(r, θ, φ) </mtext> </mrow> </math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2m </mtext> </mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> u(r) + V(r)u(r) = Eu(r) </mtext> </mrow> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> = </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> sin θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> sin θ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> sin </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∂ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> ∂φ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> </math> 0 ≤ r 0 ≤ θ < π 0 ≤ φ < 2π, Modelul simplificat al atomului de hidrogen pentru care electronul orbitează în jurul protonului, protonul este poziționat în centru (r=0) localizat prin coordonatele sferice polare (r, θ, φ), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2m </mtext> </mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> ψ + Vψ = iℏ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ψ </mtext> <mtext> ∂t </mtext> </mfrac> </mrow> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mtext> u(r) </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2m </mtext> </mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> u(r) + Vu(r) </mtext> </mfenced> <mtext> = E = </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mtext> f(t) </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> iℏ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂f(t) </mtext> <mtext> ∂t </mtext> </mfrac> </mfenced> </mrow> </math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mtext> d </mtext> <mtext> dt </mtext> </mfrac> <mtext> f(t) + i </mtext> <mfrac> <mtext> E </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> <mtext> f(t) = 0 ⇒ f(t) = A exp </mtext> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mtext> iEt </mtext> <mtext> ℏ </mtext> </mfrac> </mfenced> </mrow> </math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2m </mtext> </mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> ψ + Vψ = iℏ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ψ </mtext> <mtext> ∂t </mtext> </mfrac> </mrow> </math> unde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> i = </mtext> <msqrt> <mtext> - 1 </mtext> </msqrt> </mrow> </math>, Ecuația Schrödinger pentru un potențial static, V(r,t) = V(r) putem scrie ecuația Schrödinger independentă de timp, o particulă de masă m într-un potențial V este <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> - </mtext> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> h </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> 2m </mtext> </mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> ψ + Vψ = iℏ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ψ </mtext> <mtext> ∂t </mtext> </mfrac> </mrow> </math>, o funcție de undă evoluează cu timpul pentru o particulă de masă m într-un potențial V, coordonatele sferice polare (r, θ, φ) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mmultiscripts> <mtext> ∇ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> = </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂r </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> sin θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> <mfenced open="(" close=")"> <mtext> sin θ </mtext> <mfrac> <mtext> ∂ </mtext> <mtext> ∂θ </mtext> </mfrac> </mfenced> <mtext> + </mtext> <mfrac> <mtext> 1 </mtext> <mrow> <mmultiscripts> <mtext> r </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> sin </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mtext> θ </mtext> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mmultiscripts> <mtext> ∂ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> <mmultiscripts> <mtext> ∂φ </mtext> <none/> <mtext> 2 </mtext> </mmultiscripts> </mfrac> </math> 0 ≤ r 0 ≤ θ < π 0 ≤ φ < 2π