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Este Cmap, tiene información relacionada con: MALI2_U1_A1_ADLG, Parte 2 Explica El por qué los siguientes conjuntos de vectores no son espacios vectoriales., A pesar que en la definición de subespacio vectorial está implícita la verificación de los axiomas, el siguiente resultado da la clave para la verificación de que un conjunto se subespacio. Así como los siguientes Axiomas Axioma 3 El espacio vectorial es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada escalar c, el vector cu está en el espacio vectorial., Lista de los diez axiomas de un espacio vectorial 2. Propiedad Conmutativa Si u y v son vectores de V , entonces u + v = v + u, Lista de los diez axiomas de un espacio vectorial 8. Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares Si α y β son cualquier par de escalares y u es cualquier vector de V entonces (α + β) · u = α · u + β · u, Lista de los axiomas de un subespacio vectorial. Teorema Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial es con operaciones de suma y producto escalar, es un subespacio de V si cumple las siguientes 2 condiciones:, Definición de espacio vectorial. Es Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y uncuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares., Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial es con operaciones de suma y producto escalar, es un subespacio de V si cumple las siguientes 2 condiciones: Primera • El conjunto U es cerrado bajo la suma; cualesquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que también está en U., Parte 1 3 Clasificación de los axiomas, Comprobación de espacio vectorial Espacios vectoriales Parte 2, A pesar que en la definición de subespacio vectorial está implícita la verificación de los axiomas, el siguiente resultado da la clave para la verificación de que un conjunto se subespacio. Así como los siguientes Axiomas Axioma 1 El vector cero de V esta en el espacio vectorial, Axiomas de la multiplicación por un escalar Propiedad 4 Multiplicación por un escalar Si se tiene x ∈ R^n y a es un escalar, entonces ax ∈ R^n Cuando se multiplica x por un escalar, el resultado debe pertenecer al espacio vectorial. Es decir, en el espacio vectorial es cerrado para la multiplicación por un escalar. Siempre que se multipliquen un elemento del conjunto por un escalar, el resultado sigue perteneciendo al espacio vectorial., Clasificación de los axiomas En Axiomas de la adición, El por qué los siguientes conjuntos de vectores no son espacios vectoriales. c H = {(a,ab,b): a,b∈R} consideremos los siguientes vectores genéricos p(H)=(a_1,a_1 b_1,b_1 ) q(H)=(a_2,a_2 b_2,b_2) y los sumamos p(H)+q(H)=(a_1,a_1 b_1,b_1 )+(a_2,a_2 b_2,b_2) p(H)+q(H)=(a_1+a_2,a_1 b_1+a_2 b_2,b_1+b_2 ) p(H)+q(H)=((a_1+a_2 ),(a_1 b_1+a_2 b_2 ),(b_1+b_2)) ∈ a H, ya que: (a_1+a_2 ),(a_1 b_1+a_2 b_2 ),(b_1+b_2)∈R Al realiza el producto del vector p por el escalar α, se obtiene α∙p=α(a_1,a_1 b_1,b_1 ) α∙P=(αa_1,αa_1 b_1,αb_1 ) ∈ a H, ya que: (αa_1,αa_1 b_1,αb_1 ) ∈R, Subespacio Vectorial Definición Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vac´ıo se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicaci´on por escalares que est´an definidas en V , pero restringidas a vectores de U , es un espacio vectorial., Lista de los diez axiomas de un espacio vectorial 9.Asociatividad mixta Si α y β son cualquier par de escalares y u es cualquier vector de V entonces α · (β · u) = (α · β) · u = β · (α · u), Lista de los diez axiomas de un espacio vectorial 6. Ley de composición externa Si α es cualquier número real y u es cualquier vector de V , entonces (α · u) está en V, Parte 1 5 Lista de los axiomas de un subespacio vectorial., El por qué los siguientes conjuntos de vectores no son espacios vectoriales. a H = {(a,a-3): a,b∈R} consideremos los siguientes vectores genéricos p(H)=(a_1,a_1-3,b_1 ) q(H)=(a_2,a_2-3,b_2) y los sumamos p(H)+q(H)=(a_1,a_1-3,b_1 )+(a_2,a_2-3,b_2) p(H)+q(H)=(a_1+a_2,a_1+a_2-3-3,b_1+b_2 ) p(H)+q(H)=(a_1+a_2,a_1+a_2-6,b_1+b_2 ) ∈ a H, ya que: a_1+a_2,a_2+a_2-6,b_1+b_2 ∈R Al realiza el producto del vector p por el escalar α, se obtiene α∙p=α(a_1,a_1-3,b_1 ) α∙P=(αa_1,α(a_1-3),αb_1 ) α∙P=(αa_1,αa_1-3α,αb_1 ) ∈ a H, ya que: αa_1,αa_1-3α,αb_1∈R, El por qué los siguientes conjuntos de vectores no son espacios vectoriales. d H= {(3, a,b): a, b∈R} consideremos los siguientes vectores genéricos p(H)=(3_1,a_1,b_1 ) q(H)=(3_2,a_1,b_2) y los sumamos p(H)+q(H)=(3_1,a_1,b_1 )+(3_2,a_1,b_2) p(H)+q(H)=(3_1+3_2,a_1+a_2,b_1+b_2 ) p(H)+q(H)=((3_1+3_2 ),(a_1+a_2 ),(b_1+b_2)) ∈ a H, ya que: (3_1+3_2 ),(a_1+a_2 ),(b_1+b_2) ∈R Al realiza el producto del vector p por el escalar α, se obtiene α∙p=α(3_1,a_1,b_1 ) α∙P=(α3_1,αa_1,αb_1 ) ∈a H, ya que: α3_1,αa_1,αb_1 ∈R, El por qué los siguientes conjuntos de vectores no son espacios vectoriales. e H= {(a,b,0): ab∈R +} consideremos los siguientes vectores genéricos p(H)=(a_1,b_1,0) q(H)=(a_2,b_2,0) y los sumamos p(H)+q(H)=(a_1,b_1,0)+(a_2,b_2,0) p(H)+q(H)=(a_1+a_2,b_1+b_2,0+0) p(H)+q(H)=((a_1+a_2 ),(b_1+b_2),0) ∈ a H, ya que: (a_1+a_2 ),(b_1+b_2),0 ∈R Al realiza el producto del vector p por el escalar α, se obtiene α∙p=α(a_1,b_1,0) α∙P=(αa_1,αb_1,0) ∈ a H, ya que: αa_1,αb_1,0 ∈R