¿Qué es la tasa de flujo volumétrico?

Tal vez hayas escuchado el término tasa de flujo volumétrico y pienses que suena aburrido, pero la tasa de flujo volumétrico te mantiene con vida. Te diré cómo en un segundo, pero primero debemos definir qué es la tasa de flujo volumétrico. Definimos la tasa de flujo volumétrico $Q$‍ de un fluido como el volumen de fluido que pasa a través de una sección transversal dada por unidad de tiempo. El término sección transversal es solo una forma elegante de describir el área a través de la que algo fluye, por ejemplo, el área circular dentro de la línea punteada en el diagrama que se muestra a continuación.

Como la tasa de flujo volumétrico mide la cantidad de volumen que pasa a través de un área en un tiempo dado, su ecuación se ve así:

En unidades del SI (Sistema Internacional de Unidades), la tasa de flujo volumétrico tiene unidades de metros cúbicos por segundo, ${\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{s}}}$‍, pues te dice el número de metros cúbicos de fluido que fluyen cada segundo.

Entonces ¿cómo es que la tasa de flujo volumétrico te mantiene vivo? Tu corazón bombea un volumen de sangre más o menos igual al volumen de una lata de refresco cada cuatro segundos.

Resulta que hay una alternativa útil para escribir la tasa de flujo volumétrico que no sea como $Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍.

Podemos escribir el volumen de una porción de fluido en una tubería como $V=Ad$‍, donde $A$‍ es la sección transversal del fluido y $d$‍ es el ancho de la porción de fluido, como se muestra en el diagrama a continuación. Podemos sustituir esta fórmula en vez del volumen en la expresión para la tasa de flujo volumétrico y obtener:

Pero el término ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ no es otra cosa más que la longitud del volumen del fluido dividida entre el tiempo que le tomó fluir a través de esta longitud, que es la rapidez del fluido. Por lo tanto, podemos reemplazar ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ con $v$‍ en la ecuación anterior y obtener

En esta ecuación, $A$‍ es el área de la sección transversal de la tubería y $v$‍ es la rapidez del fluido en esta parte. Así, obtuvimos una nueva fórmula para la tasa de flujo volumétrico $Q=Av$‍ que a menudo es más útil que la definición original, pues el área $A$‍ es fácil de determinar. La mayoría de las tuberías son cilíndricas —lo que significa que podemos determinar el área con $A=\pi r^2$‍— y la rapidez $v$‍ del fluido es una cantidad de interés práctico en la mayoría de las situaciones.

Pero ten cuidado, ahora estamos lidiando con dos términos que se ven muy parecidos. Representamos el volumen con la letra mayúscula $V$‍ y la rapidez con la letra minúscula $v$‍. La gente con frecuencia confunde ambas cantidades, el volumen $V$‍ y la rapidez $v$‍, porque se ven parecidas.

Resulta que la mayoría de los líquidos son casi incompresibles. Esto significa que puedes poner un galón de leche en un recipiente con capacidad para un galón que tenga diferente forma, pero no serás capaz de apachurrar todo el galón en un recipiente con capacidad para medio galón, sin importar qué tan fuerte apachurres

Puesto que los líquidos son incompresibles, cualquier porción de líquido que fluya en una tubería puede cambiar de forma, pero debe mantener el mismo volumen. Esto es verdad incluso si la tubería cambia de diámetro. En el diagrama que se muestra a continuación, el volumen del líquido a la izquierda, $V$‍, cambia de forma conforme entra a la sección angosta de la tubería, pero mantiene el mismo volumen, pues los líquidos son incompresibles.

Los líquidos deben mantener su volumen conforme fluyen en una tubería, pues son prácticamente incompresibles. Esto significa que el volumen de líquido que entra en una tubería en una cantidad dada de tiempo debe ser igual al volumen de líquido que sale de la tubería en esa misma cantidad de tiempo. Por ejemplo, si en una hora bombeas 2 m${}^3$‍ de agua en una tubería llena de agua, deben salir 2 m${}^3$‍ de agua de la tubería durante esa misma hora. Si no, las únicas alternativas serían que el líquido se comprima dentro de la tubería (lo cual no debe ocurrir) o que la tubería se hinche (que suponemos que no ocurre si esta es rígida). Recuerda, no estás confinado a considerar puntos solo al principio o al final de la tubería; este argumento funciona igual de bien para agua que entra y sale de cualesquiera dos secciones de la tubería.

Entonces, la tasa de flujo volumétrico $Q$‍ para un fluido incompresible en cualquier punto en una tubería es la misma que la tasa de flujo volumétrico en cualquier otro punto de la tubería.

Podemos representar matemáticamente este hecho con la fórmula $Q=constante$‍ o, si escogemos cualesquiera dos puntos en la tubería, podemos decir matemáticamente que la tasa de flujo volumétrico es la misma en estos dos puntos al escribir la igualdad

Ahora, si sustituimos la fórmula $Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍, obtenemos

Alternativamente, podemos sustituir la fórmula para la tasa de flujo volumétrico, $Q=Av$‍, en la expresión $Q_1=Q_2$‍, lo que resulta en

A esta ecuación la conocemos como ecuación de continuidad para fluidos incompresibles. También a veces nos referimos a las dos ecuaciones previas como ecuaciones de continuidad. La ecuación no es tan misteriosa como su nombre sugiere, pues la encontramos al requerir simplemente que los volúmenes sean incompresibles conforme fluyen por la tubería.

Esta ecuación es muy útil, particularmente en esta forma, ya que establece que la cantidad $Av$‍ tiene un valor constante a través de la tubería. En otras palabras, no importa en dónde en la tubería escojas determinar $Av$‍, si el fluido es incompresible, el valor siempre resultará ser el mismo número para una tubería dada.

Así, si el área $A$‍ de una sección de tubería disminuye, la rapidez $v$‍ del líquido en esa región debe aumentar, de tal forma que el producto $Av$‍ permanezca constante. Esto significa que los fluidos aceleran cuando alcanzan una región más agosta de tubería y frenan cuando alcanzan una sección más amplia de tubería. Esto corresponde con la experiencia cotidiana. Piensa acerca de lo que ocurre si bloqueas una porción de la salida de una manguera con tu pulgar, reduciendo efectivamente su área $A$‍. El agua debe salir con mayor rapidez, $v$‍, para garantizar que la tasa de flujo volumétrico, $Av$‍, permanezca constante. Esta es la razón por la que una boquilla angosta, que reduce el área ($A$‍), conectada a una manguera causa un incremento significativo en la rapidez $v$‍ del fluido en ese punto.

Una mujer muy rica que adora el refresco construye su casa con una tubería cilíndrica que transporta refresco desde la parte inferior de la casa hasta su dormitorio en la parte superior. El refresco entra a la casa por una tubería con una sección transversal de área 0.0036 m${}^2$‍, donde viaja con una rapidez de 0.48 metros por segundo. En el dormitorio de la mujer, el grifo por donde sale el refresco tiene un área de 0.0012 m${}^2$‍.

Nota: también podemos resolver este problema al observar que el área $A_2$‍ de la tubería en el dormitorio es ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ del área de la tubería en la parte inferior de la casa, $A_1$‍. Esto significa que para que el factor $Av$‍ permanezca constante, el refresco debe ir tres veces más rápido en la tubería del dormitorio comparado con la tubería de abajo.

Un chef quiere asegurarse de siempre tener leche de coco disponible para todas sus recetas de panquecitos, por lo que crea una tubería cilíndrica que va del almacén a la cocina. La tubería en el almacén tiene un radio de 4 cm, donde la leche viaja con una rapidez de 0.25 metros por segundo. La leche de coco sale de la tubería de la cocina con una rapidez de 1 metro por segundo.

Nota: sustituimos el radio, $r_1=4\text{ cm}$‍, en unidades de centímetros, lo que simplemente significa que la respuesta que obtuvimos está en unidades de centímetros.